1. Menentukan Akar PK dengan Pemfaktoran (1)

1. Sifat perkalian dengan $0 (nol)$
$$\bbox[10px,border:2px solid yellow]
{a \times 0 = 0 \times a =0}$$
Bentuk di atas berarti bahwa setiap bilangan $(real)$ jika dikalikan dengan 0 $(nol)$ hasilnya adalah 0 $(nol)$
Contoh:
Tentukan nilai (x) yang memenuhi:
$\begin{alignat}{1}
&1. \  x \times 4=0 &\text{| jawab : }x=0 \\
&2. \ x \times (-2)=0 &\text{| jawab : }x=0 \\
&3. \ (x+2) \times 3 =0 &\text{| jawab : }x=-2 \end{alignat}$
Perhatikan soal nomor 3 di atas, agar hasil perkaliannya $0 (nol)$, maka yang di dalam kurung harus bernilai = 0 (nol).
$\begin{alignat}{1}
&4. \ x\times (x-2)=0 &\text{| jawab: }x=0 \text{ atau } x=2 \\
&5.  \ (x-3)(x+5)=0 &\text{| jawab: }x=3 \text{ atau } x=-5 \end{alignat}$
Prinsip perkalian dua bilangan yang menghasilkan $0 (nol)$ adalah
Jika dua bilangan (a) dan (b) dikalikan dan hasilnya$ 0 (nol)$ maka salah satu dari dua bilangan tersebut adalah $0 (nol)$, atau keduanya adalah $0 (nol).$
$$\bbox[10px,border:2px solid yellow]
{a \times b=0, \ maka \ a=0 \ atau \ b=0}$$
2. Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat

1. Dengan Permfaktoran
Memfaktorkan adalah proses mengubah bentuk penjumlahan menjadi bentuk perkalian.
Perhatikan perkalian suku dua berikut:
$\begin{align}
(x-3)(x+5) &= (x=3)x + (x-3)5 \\
&=x^2 -3x+5x-15 \\
&=x^2-2x-15
\end{align}$

$x^2+2x-15=(x-3)(x+5)$ | ruas kiri adalah bentuk penjumlahan, sedangkan ruas kanan adalah bentuk perkalian.

Nah kita akan belajar mengubah dari bentuk perkalian seperti di ruas kanan, menjadi bentuk perkalian seperti di ruas kiri yang disebut proses memfaktorkan.

a. Pemfaktoran bentuk $ax^2+bx+c=0$ dengan $a=1$

Ingat bahwa mengubah dari bentuk penjumlahan $x^2+bx+c=0$ menjadi bentuk perkalian $(x+p)(x+q)=0$ disebut memfaktorkan.

Perhatikan uraian berikut:
$\begin{align}x^2+bx+c &=(x+p)(x+q) \\
&=(x+p)x+(x+p)q \\
&=x^2+px+qx+pq \\
&=x^2+(p+q)x+pq
\end{align}$

Jika kita bandingkan bentuk ruas kiri dan ruas kanan di atas, akan kita dapatkan bahwa $b=p+q$ dan $c=pq \ atau \ p \times q$

Maka langkah-langkah untuk menentukan akar-akar $x^2+bx+c=0$ dengan memfaktorkan adalah adalah sebagai berikut:

1. Tentukan $2 (dua)$ bilangan (p) dan (q) sehingga $p+q=b$ dan $p \times q=c$
2. Bila (p) dan (q) sudah didapat, maka bentuk pemfaktorannya adalah $(x+p)(x+q)=0$
3. Uraikan seperti prinsip di atas yaitu: $x+p=0$ atau $x+q=0$
4. Tentukan nilai (x) untuk masing-masing perkalian di atas yaitu akar-akar persamaan kuadratnya.

Contoh:

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan memfaktorkan:
1. $x^2-25=0$
2. $x^2+5x=0$
3. $x^2+5x+6=0$
4. $x^2=-14x+12$

Jawab:

1.  $x^2-25=0$ | maka $a=1, \ b=0, \ c=-25$
    Tentukan dua bilangan (p) dan (q) sehingg $p+q=0$ dan $p \times q=-25$
    Karena hasil kalinya bernilai negatif, maka pastilah (p) dan (q) berlainan tanda.
    Dan karena jumlahnya = 0, maka pastilah (p) dan (q) berlawanan, yaitu $5\ dan -5$
    Maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut :

$\begin{alignat}{1}
&&x^2-25=0 \\
&\Leftrightarrow & \ (x+5)(x-5)=0 \\
&\Leftrightarrow & \ x+5=0 \ atau \ x-5=0  \\
&\Leftrightarrow & \ x=-5 \ atau \ x=5 \\
&& \text{Jadi akar-akarnya adalah } x=-5 \ dan \ x=5 \end{alignat}$

2.  $x^2+5x=0$ | maka $a=1, \ b=5, \ c=0$
    Tentukan dua bilangan p dan q sehingga $p+q=5$ dan $p \times q=0$, yaitu $0\ dan \ 5$
    Maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut :
    $\begin{alignat}{1}
&& \ x^2+5x=0 \\
&\Leftrightarrow& \ (x+0)(x+5)=0 \\
&\Leftrightarrow & \ x+0=0 \ atau \ x+5=0 \\
&\Leftrightarrow & \ x=0 \ atau \ x=-5 \\
&&\text{Jadi akar-akarnya adalah } x=0 \ dan \ x=-5 \end{alignat}$

3.  $x^2+5x+6=0 \text{ | maka a=1, b=5  dan  c=6}$
    Tentukan dua bilangan (p) dan (q) sehingga $p+q=5$ dan $p \times q=6$, yaitu $2\ dan \ 3$
    Maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut :

$\begin{alignat}{1}
&& \  x^2+5x+6=0 \\
&\Leftrightarrow &\ (x+2)(x+3)=0 \\
&\Leftrightarrow &\ x+2=0 \ atau \ x+3=0 \\
&\Leftrightarrow &\ x=-2 \ atau \ x=-3 \\
&&\text{Jadi akar-akarnya adalah } x=-2 \ dan \ x=-3 \end{alignat}$

4. $x^2=-4x+12$ | bentuk ini harus diubah dulu menjadi bentuk $ax^2+bx+c=0$ terlebih dulu
$\begin{alignat}{1}
&x^2=-4x+12 \\
\Leftrightarrow \ &x^2+4x-12=0 \text{ | maka }a=1, \ b=4, \ c=-12 \end{alignat}$
    Tentukan dua bilangan p dan q sehingga $p+q=4$ dan $p \times q=-12$, yaitu $6\ dan \ -2$
    Maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut :

$\begin{alignat}{1}
&&x^2+5x+6=0 \\
&\Leftrightarrow&\ (x+2)(x+3)=0 \\
&\Leftrightarrow &\ x+2=0 \ atau \ x+3=0 \\
&\Leftrightarrow &\ x=-2 \ atau \ x=-3 \\
&&\text{Jadi akar-akarnya adalah } x=-2 \ dan \ x=-3 \end{alignat}$

Latihan:
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan memfaktorkan:
1. $x^2-6x=0$
2. $x^2-36=0$
3. $x^2+7x+10=0$
4. $x^2-13x-30=0$
5. $x^2-7x+12=0$